تحقیق درباره معادله و مشاهده

دانلود پایان نامه

حال می خواهیم همگنی و همسانگردی را از نگاه دیگری تعریف کنیم [5].
همگنی: یک فضا – زمان را می توان همگن نامید در صورتی که در آن یک حالت ایزومتری در انتقال بسیار کوچک از نقطه P به نقطه P’،که این دو نقطه در نزدیکی هم قرار دارند، برقرار باشد.


به عبارت دیگر بردار کیلینگ در نقطه P بتواند هر مقدار ممکن را بگیرد و بتوانیم در این نقطه بردار مستقل خطی کیلینگ را انتخاب کنیم و با انتخاب مناسب در هر نقطه دلخواه در نزدیکی بردار کیلینگ را نوشت.

می توان با ادامه دادن این جابجایی های کوچک، از نقطه به هر نقطه دلخواه رسید.
همسانگردی : فضا ـ زمان به شرطی در نقطه داده شده همسانگرد است که بردار کیلینگ در همسایگی وجود داشته باشد بطوریکه و فضا را به صورت یک تانسور پاد متقارن مرتبه دو در نقطه پوشش دهد.
این معادل این است که معادله کیلینگ برابر صفر شود.
= 0
بنابراین باید نتیجه گرفت که اگر متریکی داشته باشیم که آن متریک به همراه بردارهای کیلینگ خود در معادله کیلینگ صدق کند، این فضا همگن و همسانگرد است و بالعکس.
1-4 متریک رابرتسون – واکر
با توجه به اصل کیهان شناختی، در مقیاس بسیار بزرگ ما جهانی همگن و همسانگرد را مشاهده می کنیم. همانطور که اشاره شد این همگنی و همسانگردی می تواند به لحاظ ریاضی مورد توجه قرار بگیرد. یکی از مدلهایی که می توان برای شکل کلی جهان و روند تحول آن متصور شد، یک فضای متقارن کروی است.

مطلب مرتبط :   پایان نامه استفاده از شبکه ها و استفاده از اینترنت

این فضای متقارن را می توان به صورت یک کره در نظر گرفت. همان طور که گفته شد همگنی و همسانگردی در حالت ایستا معنا دارد، یعنی در طول زمان و افزایش شعاع این همگنی و همسانگردی تغییر می کند. بنابراین می توان حالت دو بعدی را برای این کره در نظر گرفت که فقط و که زوایای قطبی و سمتی هستند تغییر می کنند. از آنجا که با دو بعد سر و کار داریم باید سه بردار کیلینگ داشته باشیم [6].
می توان نشان دادکه این سه بردار عبارتند از :
این بردارها خاصیت همسانگردی را تایید می کنند.
هم چنین می توان نشان داد که عنصر خطی برای این تقارن کروی به صورت زیر است :
حال برای یافتن متریک مورد نظر معادله کیلینگ را برای این مورد حل می کنیم
به عنوان مثال برای داریم :

جستجو در سایت ما :


و
برای داریم:
با حل همه این معادلات سرانجام می توان به ماتریس زیر رسید :
و عنصر خطی به صورت زیر نوشته می شود :
این عمومی ترین متریک برای یک فضای همسانگرد است .